已知关于x的方程x^2+zx+4+3i有实根,求复数z的模的最小值

就按楼方的方法设,z=a+bi,则有
X^2+(a+bi)x+4+3i=0,方程有实根,则有
X^2+ax+4=0,.............(1)
bx+3=0,
把x=-3/b,代入(1)得,
(-3/b)^2+a*(-3/b)+4=0,
a=-(4b^2+3)/3b.

而,|Z|^2=a^2+b^2,则有
|Z|^2=[-(4b^2+3)/3b]^2+b^2,化简后得,
25b^4+(24-9|z|^2)b^2+9=0,
因为方程有解,则有⊿≥0,
[(24-9|Z|^2)^2-4*25*9≥0,
|8-3|Z|^2|≥10,则有
8-3|Z|^2≥10或8-3|Z|^2≤-10,
-2≥3|Z|^2(不合,舍去)
|Z|^2≥6,(负值,舍去)则有,
|Z|≥√6.
即,复数z的模的最小值是:√6.

z=(-4-x^2)/x-3i/x （x∈R）
|z|^2=(4+x^2)^2/x^2+9/x^2=(25+8x^2+x^4)/x^2
=25/x^2+x^2+8≥2√(25/x^2*x^2)+8=18
所以|z|min=3√2
当且仅当x=±√5时取到最小值